Доказательство

Дочь блестящего, но психически неуравновешенного математика, пытается разобраться со своим наследством…

Сюжет чередуется между событиями сразу после смерти Роберта ( Энтони Хопкинс ), блестящего математика, чей гений был уничтожен психическим заболеванием, и воспоминаниями, раскрывающими жизнь, которую он делил со своей дочерью Кэтрин ( Гвинет Пэлтроу ). Кэтрин также является математиком и когда-то была многообещающей студенткой Северо-Западного университета, но ей трудно жить в тени своего отца и совмещать свои требовательные занятия с заботой об отце, а также со страхом, что она, возможно, унаследовала его психическое заболевание. Дома Роберт цепляется за здравомыслие, постоянно забрасывая Кэтрин сложными математическими задачами.

В первой сцене Роберт пугает Кэтрин, когда она смотрит телевизор посреди ночи. Он дарит ей бутылку шампанского на день рождения, и они некоторое время болтают о природе безумия, заканчивая откровением, что Роберт умер на прошлой неделе, а его похороны состоятся завтра.

Проснувшись от этого сна, Кэтрин понимает, что Хэл ( Джейк Джилленхол ), бывший аспирант Роберта, все еще находится наверху и читает книги Роберта. Роберт заполнил множество блокнотов бессмысленными заметками. Хэл считает, что гений Роберта мог противостоять его болезни, и ключи к разгадке этого гения могут лежать в тарабарщине его записных книжек. Когда Хэл комментирует огромный объем работы, проделанной Робертом, подозрительная Кэтрин обыскивает рюкзак Хэла. Хотя Кэтрин ничего не находит в сумке Хэла, из его пальто выпадает блокнот. Он объясняет, что хотел подарить блокнот на день рождения, потому что в нем «было написано что-то о ней, а не о ней». Хэл вынужден уйти, отдав блокнот по назначению, когда Кэтрин вызывает полицию.

На следующий день на похороны в город приезжает сестра Кэтрин Клэр ( Хоуп Дэвис ). В отличие от неопрятной Кэтрин, Клэр — чрезмерно собранная, невротическая жительница Нью-Йорка. Отношения между сестрами натянуты, и Кэтрин терпеть не может постоянных разглагольствований сестры о внешности. Кэтрин также расстроена тем, что Клэр не заботилась о своем отце так, как Кэтрин в его последние годы.

На похоронах Кэтрин выражает свое недовольство присутствием большого количества людей. Она прерывает струнный квартет импровизированной речью, ругая всех за то, что они не были рядом с ее отцом, пока он был жив. Она описывает его впадение в безумие и то, что когда-то он брал стопки книг, полагая, что инопланетяне посылают ему сообщения, закодированные в их десятичных кодах Дьюи. В конце она говорит, что рада, что ее отец мертв, и уходит из церкви посреди похорон.

Клэр решает продать дом Роберта обратно университету и хочет, чтобы Кэтрин поехала с ней в Нью-Йорк; Екатерина расстроена тем, что ей придется покинуть дом. Становится очевидным, что Клэр подозревает, что Кэтрин может бороться с психическими заболеваниями, как и их отец. Бодрствование провели в доме в ночь после похорон принимает участие многих академических математиков. Появляется Хэл и болтает с Кэтрин. Смягчившись к Хэлу, Кэтрин спит с ним. После этого она дает ему ключ от стола отца.

В воспоминаниях Роберт внезапно оживился, полагая, что он увидел начало нового математического доказательства , которое докажет его победу над психическим заболеванием.

В настоящее время Кэтрин дает Хэлу ключ от стола Роберта и говорит ему проверить запертый ящик на наличие блокнота, который сам по себе содержит длинное, но, по-видимому, очень важное доказательство. Он очень взволнован и показывает открытие Кэтрин и Клэр. Он спрашивает Екатерину, как давно она знала об этом и почему не сказала ему об этом. Она говорит ему, что написала это. Кэтрин утверждает, что это ее работа, а не ее отца.несмотря на доказательства обратного. Ни Хэл, ни Клэр не верят Кэтрин. Хэл считает, что математика доказательства выше Кэтрин, в то время как Клэр просто подозревает, что Кэтрин страдает психическим заболеванием. Кэтрин говорит, что не может описать доказательство без блокнота, потому что это «не рецепт кексов». Хэл решает на следующий день отнести его на математический факультет, чтобы проверить точность доказательства.

Он возвращается, когда Клэр и Кэтрин уходят, с новостями о том, что математический факультет считает доказательство действительным. Хэл говорит Клэр, что он не думает, что ее отец написал доказательство, потому что оно использует новую математику, и хочет, чтобы Кэтрин когда-нибудь объяснила ему это. Кэтрин по-прежнему уязвлена его прежним недоверием, и сестры уезжают в аэропорт. Хэл бежит за машиной и бросает книгу в окно на колени Кэтрин.

В аэропорту у Кэтрин есть еще одно воспоминание. Выясняется, что, живя вместе, ее отец бросил ей вызов поработать над математикой, что она и делает, в конечном итоге завершив доказательство, которое она описывает в одной из многочисленных тетрадей в доме. Кэтрин идет рассказать отцу о прорыве, но он настаивает, чтобы она прочитала вслух доказательство, над которым он работает. К разочарованию Кэтрин, записная книжка Роберта содержит не доказательство, а бессвязное и отчаянное наблюдение за сменой времен года, что год делится на месяцы холода, месяцы тепла и месяцы неопределенной температуры, что будущее тепла — это будущее холода, что будущее холода бесконечно, и что ему никогда не будет так холодно, как в будущем. Читая работу своего отца, Кэтрин понимает, что Роберт не преодолел свое психическое заболевание. Удрученная Кэтрин оставляет свой блокнот в столе Роберта, где его позже найдет Хэл.

Кэтрин начала примиряться с собой, чему способствовало доверие Хэла к ней. Она решает, что ей не нужно ехать с сестрой в Нью-Йорк, и выбегает из аэропорта. Она возвращается в Чикагский университет, и фильм заканчивается тем, что она и Хэл встречаются в кампусе и обсуждают доказательства.